Resumen El objetivo de esta investigación es caracterizar cómo los estudiantes para maestro, un año después de un experimento de enseñanza, reconocen diferentes etapas de progresión al anticipar estrategias de estudiantes de educación primaria al resolver problemas de división - medida con fracciones. Los 41 participantes cursaban el séptimo semestre del Grado en Maestro en Educación Primaria durante el curso 2018-2019. En el análisis se tuvo en cuenta el tipo de estrategias utilizadas y si estas evidenciaban la idea de progresión. Los resultados muestran tres categorías en el uso de la idea de progresión al anticipar respuestas a problemas de división-medida: (a) No usan la idea de progresión; (b) usan parcialmente la idea de progresión; (c) usan la idea de progresión. Pese a su dificultad, es posible comenzar a desarrollar la idea de progresión al anticipar estrategias en la formación de futuros maestros.

Résumé Le but de cette recherche est de caractériser comment les futurs professeurs des écoles, une année après une expérience d’enseignement, reconnaissent différentes étapes de progression différents quand ils anticipent des stratégies de résolution de problèmes de division-mesure avec des fractions employées par les élèves du Primaire. Les 41 participants étaient au septième semestre des études pour devenir professeurs d’Éducation Primaire (huit semestres) au cours de l’année académique 2018-2019, une année après une expérience d’enseignement. L’analyse a pris en compte le type de stratégies utilisées et si elles mettaient en évidence l’idée de progression. Les résultats montrent trois catégories face à l’usage de l’idée de progression: a) L’idée de progression n’est pas utilisée; (b) on utilise partiellement l’idée de progression; (c) on utilise l’idée de progression. Malgré sa difficulté, il est possible de commencer à développer l’idée de progression quand on anticipe des stratégies lors de la formation de futurs professeurs.

Abstract The objective of this research is to characterize how primary prospective teachers, one year after a teaching experiment, recognize different stages of progression anticipating solving strategies for measurement division problems with fractions used by elementary school children. The 41 participants were in the seventh semester of the Education Teaching Degree (eight semesters) during the 2018-2019 academic year. The analysis considered the type of strategies used and whether they evidenced the idea of progression. The results show three categories in the use of the idea of progression when anticipating answers to measurement division problems: They (a) do not use the idea of progression; (b) partially use the idea of progression; (c) use the idea of progression. Despite its difficulty, it is possible to begin to develop the idea of progression by anticipating strategies in the training of future teachers.

Resumo O objetivo desta pesquisa é caracterizar como estudantes para professores, um ano após a sua formação, são capazes de reconhecer a existência de diferentes níveis de progressão, antecipando estratégias de resolução de problemas com frações envolvendo divisão-medida, utilizadas por alunos dos anos iniciais. Os 41 participantes estavam em seu sétimo semestre do Graduação em Pedagogia nos anos iniciais (oito semestres) durante o ano acadêmico de 2018-2019, um ano após receberem formação em uma experiência de ensino. A análise teve em conta o tipo de estratégias utilizadas e se evidenciavam a ideia de progressão. Os resultados mostram três categorias no uso da ideia de progressão ao antecipar respostas a problemas de divisão-medida: (a) eles não usam a ideia de progressão; (b) usar parcialmente a ideia de progressão; (c) usar a ideia de progressão. Apesar de sua dificuldade, é possível começar a desenvolver a ideia de progressão antecipando estratégias na formação dos futuros professores.

Abstract The aim of this paper is to characterize how high school students build the integral function concept in the context of a teaching experiment using applets, and designed according to a hypothetical learning trajectory. Five out of fifteen students were chosen, which have participated in the teaching experiment and shown different moments of reflective abstraction process, to carry out a study of cases. Our results indicated three characteristics for building the integral function concept: (i) not identifying the relationship between a bound of an interval and the value of the area under a straight line belonging to this interval; (ii) identifying this relationship as a way of simple covariation; and (iii) identifying the complex covariation among the variable x, x ∈ [a, b], a function f(t), t ∈ [a, x] and the integral function F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , in linear functions. These results provide information about the learning trajectory of the integral function concept; this trajectory can be used for designing curricular materials that support students' covariational reasoning.

Resumen Este artículo identifica algunas características de cómo estudiantes de Bachillerato (17-18 años) construyen el concepto de función integral en un experimento de enseñanza utilizando applets, y diseñado según una trayectoria hipotética de aprendizaje. De los quince estudiantes que participaron en el experimento de enseñanza se han seleccionado cinco, que se encuentran en distintos momentos del proceso de abstracción reflexiva, para hacer un estudio de casos. Los resultados indican tres características del proceso de construcción de la función integral: (i) no identificar la relación entre un extremo de un intervalo y el valor del área bajo una recta en dicho intervalo; (ii) identificar esta relación como una forma de covariación simple; y (iii) reconocer la covariación compleja entre la variable x, x ∈ [a, b], una función f(t), t ∈ [a, x] y la función integral F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , en funciones lineales. Estos resultados aportan información sobre la trayectoria de aprendizaje del concepto de función integral que puede ser usado en el diseño de materiales curriculares que apoyen el razonamiento covariacional en los estudiantes.

The aim of this study is to characterize the flexibility of secondary school students (12-16 years old) in problems that involve the recognition of patterns. Flexibility is understood as the ability to modify the strategy used in solving a problem when the cognitive demand of the task is changed. The methodology used is qualitative analyzing students' answers taking into account two criteria: the correction of the answers and the strategies used and grouping those with similar characteristics. Results indicate three profiles of students in relation to flexibility in the use of strategies and success. The first group is characterized by students who use only a recursive strategy; most of them are blocked when the cognitive demand of the task increases. This group is composed predominantly of students of 12-13 years old. The second profile corresponds to students who change from a recursive strategy to a proportional approximation giving an incorrect result. This is more common in 13-14 year old students. Finally, the third profile is characterized by students who successfully change from a functional to a recursive strategy when the cognitive demand of the task increases. It is more common in older students. We conclude that flexibility to identify patterns is related to the knowledge of the students and to the control and regulation of the problem-solving process when the cognitive demand of the task increases. Furthermore, younger students showed less flexibility than the older ones.

El objetivo de este trabajo es caracterizar la flexibilidad, entendida como habilidad para modificar la estrategia de resolución de un problema cuando se modifica la demanda de la tarea, de estudiantes de educación secundaria (12-16 años) en problemas de reconocimiento de patrones con varios apartados. Se utiliza una metodología de tipo cualitativo analizando las respuestas de los estudiantes en base a dos criterios: corrección de las respuestas y estrategias de resolución, y agrupando las que presentan características semejantes. Los resultados indican tres perfiles de estudiantes en relación a la flexibilidad en el uso de estrategias y el éxito alcanzado. El primero agrupa a los estudiantes que usan sólo la estrategia recursiva; la mayor parte de ellos se bloquea al aumentar la demanda cognitiva de la tarea; predominan los estudiantes de 12-13 años. El segundo perfil corresponde a los que cambian de una estrategia recursiva a una aproximación proporcional dando un resultado incorrecto; es más frecuente en los estudiantes de 13-14 años. Finalmente, el tercer perfil agrupa a los estudiantes que al aumentar la demanda cognitiva de la tarea cambian con éxito de una estrategia recursiva a una funcional; su frecuencia aumenta con la edad. Se concluye que la flexibilidad necesaria para identificar patrones cuando se incrementa la demanda de la tarea está relacionada con los conocimientos de los estudiantes y con el control y la regulación del proceso de resolución. Por otra parte, los estudiantes más jóvenes manifestaron menor grado de flexibilidad que los más mayores.